ラグランジュの定理
定理 1
Lagrange’s theorem
$N$ を $G$ の部分群とし, $G$ が有限群であるとする. このとき次が成り立つ. $$|N| \lbrack G:N \rbrack = |G|$$
証明
剰余類は同値類であるため, $G$ は $N$ の左剰余類に関して次のように（交わらないように）割ることができる.
$$ G/N = \lbrace gN \; | \; g \in G \rbrace $$
この各左剰余類 $gN$ に対して, $|gN| = |N|$ である. （剰余類参照）
左剰余類の数は $\lbrack G:H \rbrack$ と表されるため次の式が得られる.
$$|N| \lbrack G:N \rbrack = |G|$$
（証明終）
証明の気持ち
剰余類の直和として $G$ を見る.
- 剰余類の元は $|N|$ 個ずつ
- 剰余類の数は $\lbrack G:N \rbrack$ である
系 1
$G$ を位数が素数 $p$ の群とする. このとき, $G$ は巡回群である.
証明
$1_G \ne x \in G$ なる $x$ をとり, $N = \langle x \rangle$ とする. （つまり $N$ は巡回群.）
$x \ne 1_G$ より $|N| \ne 1$.
定理 1 から $|N| \lbrack G:N \rbrack = |G| = p$ であるため, $|N| = p$.
元の個数が等しいため, $G = N$.
（証明終）